题目描述

题目译自 PA 2022 Runda 5 Nawiasowe podziały

我确信你是知道括号序列的，但是以防万一，并且作为回顾，让我们回忆一下它的定义：

• () 是一个合法的括号序列。
• 如果 $S$ 是一个合法的括号序列，那么 (S) 也是一个合法的括号序列。
• 如果 $S_1$ 和 $S_2$ 都是合法的括号序列，那么 $S_1S_2$ 也是一个合法的括号序列。
• 不符合上述规则的括号序列都不是合法的括号序列。

给出一个长度为 $n$ 且仅由字符 ( 和 ) 组成的字符串，以及一个数字 $k$，这个字符串不一定是合法的括号序列。你的任务是把它分成 $k$ 个非空段（每个字符必须恰好属于一段内），使得每段中是合法括号序列的子串个数之和最小。

输入格式

第一行两个整数 $n,k\ (1\le k\le n\le 100\ 000)$，分别表示字符串长度和要分成的段数。

第二行一个长度为 $n$ 的字符串，保证字符串仅由 ( 和 ) 组成。

输出格式

输出一行一个整数，表示所有段中是合法括号序列的子串个数之和的最小值。

15 2
())(()())()(())

6

最优的分段方法为：

$$\texttt{())(()())()(())}=\texttt{())(()(}\mid\texttt{))()(())} $$

第一段中有两个子串是合法的括号序列：

• $\underline{\texttt{()}}\texttt{)(()(}$
• $\texttt{())(}\underline{\texttt{()}}\texttt{(}$

第二段中有四个子串是合法的括号序列：

• $\texttt{))}\underline{\texttt{()}}\texttt{(())}$
• $\texttt{))()(}\underline{\texttt{()}}\texttt{)}$
• $\texttt{))()}\underline{\texttt{(())}}$
• $\texttt{))}\underline{\texttt{()(())}}$

所以把它们加起来，答案为 $6$。

15 3
())(()())()(())

3

最优的分段方法为：

$$\texttt{())(()())()(())}=\texttt{())((}\mid\texttt{)())()((}\mid\texttt{))} $$

数据范围与提示

• 某些子任务满足 $n\le 18$。
• 某些子任务满足 $n\le 300$。
• 某些子任务满足 $n\le 4\ 000$。
• 某些子任务满足 $k\le 30$。

对于上面提到的每种情况，都存在至少一个子任务满足。这些子任务满足条件可能不相交，也可能相交。