注意事项

在 LibreOJ 上，由于语言限制，目前只支持以下语言的提交：

• C++（标准为 C++ 17 及以上）

请在提交源代码前添加 #include "security.h"。

题目描述

题目译自 2022년도 국제정보올림피아드 대표학생 선발고사 - 2차 선발고사 T4 「보안 시스템」

KOI 国的机密设施可以表示为一个在坐标平面上的正方形，其左下角顶点为 $(0,0)$，右上角顶点为 $(N+1, N+1)$，边与坐标轴平行。正方形的每条边代表机密设施的墙壁。

在机密设施内有 $N$ 个激光传感器，每个传感器从 $0$ 到 $N-1$ 编号。我们需要设计一个安全系统，通过这些激光传感器来检测入侵者。

每个激光传感器可以表示为坐标平面上的一个点。当激光传感器启动时，它会向上（$+y$ 轴方向）、向右（$+x$ 轴方向）、向下（$-y$ 轴方向）或向左（$-x$ 轴方向）发射激光。激光会一直延伸到碰到墙壁为止，因此激光的路径可以表示为从传感器位置到墙壁上的某个点的线段。

激光发射的方向用 $1$ 到 $4$ 的数字表示。$1$ 表示向上，$2$ 表示向右，$3$ 表示向下，$4$ 表示向左。下图依次展示了激光传感器向 $1$、$2$、$3$、$4$ 方向发射激光的示例。黑点表示激光传感器，红线表示激光。

第 $i$ $(0 \leq i \leq N-1)$ 个激光传感器位于 $(X[i], Y[i])$，启动时会向 $D[i]$ 方向发射激光。不同的激光传感器位于不同的位置。$X[i]$ 和 $Y[i]$ 是 $1$ 到 $N$ 之间的整数。

我们可以自由决定每个激光传感器是否启动。但如果不同的激光传感器发射的激光相遇，会导致检测错误，因此激光不能相交，包括端点。下图展示了激光相交的示例，激光可以在一个点相交，也可以在一条线段上相交。

第 $i$ $(0 \leq i \leq N-1)$ 个激光传感器的重要性为 $W[i]$，表示启动该传感器对安全的贡献值。整个安全系统的安全级别是启动的激光传感器的重要性之和。

请编写一个函数，在确保激光不相交的前提下，决定哪些激光传感器启动，使得安全级别最大。

输入格式

你需要实现以下函数：

int max_level(vector<int> X, vector<int> Y, vector<int> D, vector<int> W);

• X, Y, D, W：长度为 $N$ 的整数数组。对于每个 $i$ $(0 \leq i \leq N-1)$，第 $i$ 个激光传感器的坐标为 $(X[i], Y[i])$，启动时向 $D[i]$ 方向发射激光，重要性为 $W[i]$。
• 该函数返回在确保激光不相交的前提下，最大可能的安全级别。

注意，提交的代码中不应包含任何输入输出操作。

样例

考虑 $N=4, X=[1,2,3,4], Y=[1,2,3,4], D=[1,1,4,4], W=[1,1,1,1]$ 的情况。 评测程序将调用如下函数：

max_level({1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}, {1, 1, 4, 4}, {1, 1, 1, 1});

下图展示了机密设施及其内部的传感器，以及传感器发射的激光。启动 $0$ 号和 $1$ 号传感器，或启动 $2$ 号和 $3$ 号传感器，激光不会相交，安全级别为 $2$。没有比这更高的安全级别的方案。

因此，函数应返回 2。

数据范围与提示

对于所有输入数据，满足：

• $1 \leq N \leq 1500$
• 对于所有 $i$ $(0 \leq i \leq N-1)$，$1 \leq X[i], Y[i] \leq N$
• $D[i] \in \{1,2,3,4\}$ (对于所有 $0 \leq i \leq N-1$)
• 对于所有 $i$ $(0 \leq i \leq N-1)$，$1 \leq W[i] \leq 10^5$
• 每个传感器的位置都不同

详细子任务附加限制及分值如下表所示。

示例评测程序

示例评测程序的输入格式如下：

• 第 $1$ 行：$N$
• 第 $2+i$ $(0 \leq i \leq N-1)$ 行：$X[i]\,Y[i]\,D[i]\,W[i]$

示例评测程序的输出格式如下：

• 第 $1$ 行：max_level 函数返回的值

示例评测程序可能与实际评测程序不同。